V diskuzi pod článkem, zmiňujícím rozdíl mediánu od průměru, který ale nevysvětlil, v čem je jádro pudla, jsem pochytila rozčarování a zmatek nad touto ne zcela vysvětlující poznámkou k tomu, že sice průměrný plat je kolem 23 000 Kč, ale medián je nižší, a to asi 20 000 Kč. V diskuzi se někdo rozhořčoval nad tím, proč v článku nikdo nevysvětluje, proč medián je vždycky menší než průměr. Nu, není, ale můžeme si vysvětlit, proč medián nemusí se rovnat průměru … ale i může, někdy …
Termíny medián i aritmetický průměr patří do té části matematiky, kterou známe pod pojmem statistika a která je i u pedagogů matematiky k mému úžasu a nepochopení poněkud v neoblibě. Aritmetický průměr spočítáme hravě součtem všech zúčastněných položek a podílem součtu počtu těchto položek. Na medián ale půjdeme trošku jinak.
Nejprve setřídíme posloupnost nasnímaných údajů do neklesající, to znamená, že začneme nejnižším údajem a zajistíme, že každý další bude bud stejný nebo vyšší, než je ten předcházející. Až balík dat setřídíme, sekneme do středu posloupnosti, čili na příklad (podle jedné z metodik) podělíme počet údajů dvěma a abychom se netrefili mezi ně, zaokrouhlíme výsledek na celá čísla. Pro úplnost uvedu, že podle jiné metodiky se upraví počet členů posloupnosti lichý přičtením jedné na počet sudý a dělí se dvěma. Tím zajistíme to, že v případě pěti položek budeme hledat nikoli dvouapůltou, ale třetí položku v posloupnosti, nebo řekněme v řadě. Takto určená položka je medián.
Když jsme vypočetli aritmetický průměr a našli si medián, porovnáme je a zjistíme, že nastane jedna z možností:
průměr je vyšší než medián,
průměr a medián se shodují,
průměr je nižší než medián.
Oba by se shodovaly ve vzácném případě, kdy by posloupnost pěkně hladce postupovala jako po šprušličkách na žebříku. Tak to obvykle není, a tak si lámeme hlavu, proč průměrný plat je vyšší než ten „mediánový“. Vlastně si hlavu nelámeme, protože všichni z praxe víme, že na jednoho stotisícového připadne mnoho desetitisícových platů. Takže jsme vlastně ten případ lehce prokoukli. Jeden vysoce nadprůměrný převažuje napravo od mediánu, kdežto jeden vysloveně podprůměrný by tahal průměr spíše pod medián.
V tomto okamžiku začíná svítat asi všem, i těm, co o statistice vědí jen to, že jim je odporná svou tajuplností. Bude-li mnoho nadprůměrných platů nebo málo, ale zato vysoce nadprůměrných, pak průměrný plat bude od mediánu napravo, čili vyšší. Opačně by to platilo takto: Bude-li mnoho podprůměrných platů nebo málo, ale zato pořádně podprůměrných, pak průměrný plat bude od mediánu nalevo, čili nižší. My ale z praxe známe jen málo lidí s průměrným a vyšším platem, ale mnoho těch, co na průměr nedosáhnou. Takže teď teprve, kdy vidíme oba statistické údaje, jak průměr, tak medián, jsme ochotni přiznat, že statistika o něčem vypovídá, konkrétně nám vypovídá o tom, co známe ze svého okolí, totiž, že většina se se svým platem pohybuje hluboko pod průměrem, kdežto pár vyvolených si užívá platu vysoko nad průměrem. Zároveň nám začíná svítat i to, proč se obvykle nezveřejňuje tento pro nás zajímavý rozdíl mezi mediánem a průměrem.
Když už víme, jak se má medián k průměru, tak za rok očekáváme zveřejnění obou údajů, jen tak, pro pořádek.
Mimochodem, za sebe si troufnu tvrdit, že obrázek histogramu by bylo to pravé ořechové, co by lidem řeklo vše. Nepochybuji, že by takový obrázek pochopili všichni ještě rychleji než medián.